Question

（在下列兩題中任選一題，若兩題都做，按第①題給分）
①若曲線C1：θ=

π

6

（ρ∈R）與曲線C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且|AB|=2，則實(shí)數(shù)a的值為

2

．
②已知a²+2b²+3c²=6，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

{x|-7＜x＜5}

．

Answer 1

分析：①曲線C1：θ=

π

6

（ρ∈R）是過極點(diǎn)傾斜角為

π

6

的射線，所在直線的方程是y=

3

3

x，曲線C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）是圓心為（a，0），半徑為

2

的圓，由|AB|=2，得

| 3 a-3×0|

3+9

=1，由此能求出a．
②因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a²+2b²+3c²=6根據(jù)柯西不等式得到|a+2b+3c|≤6，a+2b+3c的最大值為6，a+2b+3c的最小值為-6．所以使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的條件是|x+1|＜6，由此能求出x的范圍．

解答：解：①∵曲線C1：θ=

π

6

（ρ∈R）是過極點(diǎn)（0，0）且傾斜角為

π

6

的直線，
∴曲線C₁所在直線的方程是y=

3

3

x，
∵曲線C2：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

(θ為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）是圓心為（a，0），半徑為

2

的圓，
∴由|AB|=2，得圓心（a，0）到曲線C₁y=

3

3

x的距離d=

2-1

=1，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得

| 3 a-3×0|

3+9

=1，
解得a=±2．
∵a＞0，
∴a=2．
故答案為：2．
②因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a²+2b²+3c²=6
根據(jù)柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²+(

2

) 2+（

3

）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤36，即|a+2b+3c|≤6，
即a+2b+3c的最大值為6，a+2b+3c的最小值為-6；
∴使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的條件是|x+1|＜6，
解得{x|-7＜x＜5}．
故答案為：{x|-7＜x＜5}．

點(diǎn)評(píng)：第①題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線 的距離公式的靈活運(yùn)用．
第②題考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意含絕對(duì)值不等式的解法．