【題目】已知橢圓與直線有且只有一個交點,點P為橢圓C上任一點,,.若的最小值為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點A,B,點O為坐標原點,且,當(dāng)的面積S最大時,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設(shè)點,利用向量的坐標運算研究的最小值,建立方程,求出的值,即可得橢圓C的標準方程;
(2)設(shè),,,將直線與橢圓C聯(lián)立,可得和,求出點O到直線l的距離,即可求出的面積S的表達式,利用基本不等式,求面積S的最大值,根據(jù)最大值的成立條件和前面求出的和,可得點M的軌跡方程,進而可得的范圍,將轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求出的取值范圍.
解:(1)設(shè)點,由題意知,,則
,
當(dāng)時,取得最小值,即,
,故橢圓C的標準方程為;
(2)設(shè),,,則
由得,
,,
點O到直線l的距離,
,
S取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)即,①
此時,,
即,代入①式整理得,,
即點M的軌跡為橢圓,
且點,為橢圓的左、右焦點,即,
記,則,
從而,則,
令可得,即在T在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
且,,
故T的取值范圍為.
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【題目】在平面直角坐標系上,有一點列,設(shè)點的坐標(),其中. 記,,且滿足().
(1)已知點,點滿足,求的坐標;
(2)已知點,(),且()是遞增數(shù)列,點在直線:上,求;
(3)若點的坐標為,,求的最大值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.
(1)求該四棱錐P-ABCD的表面積和體積;
(2)求該四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線以為焦點,且過點
(1)求雙曲線與其漸近線的方程
(2)若斜率為1的直線與雙曲線相交于兩點,且(為坐標原點),求直線的方程
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【題目】已知A是圓錐的頂點,是圓錐底面的直徑,C是底面圓周上一點,,與底面所成角的大小為60°,過點A作截面,截去部分后的幾何體如圖所示.
(1)求異面直線與所成角的大;
(2)求該幾何體的體積.
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【題目】某單位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個容量為m的樣本,用分層抽樣的方法進行抽樣調(diào)查,樣本中的中年人為6人,則n和m的值不可以是下列四個選項中的哪組( )
A.n=360,m=14B.n=420,m=15C.n=540,m=18D.n=660,m=19
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【題目】某公司在年終“尾牙”宴上對該公司年度的最佳銷售員工進行獎勵,已知員工一年以來的月銷售業(yè)績分別為:102,113,123,132,144,138,126,119,108,122,109,146.若該公司為最佳員工準備了相應(yīng)的獎品,需要該員工通過抽獎游戲進行確定獎品金額,游戲規(guī)則如下:該員工需要從9張卡牌中不放回的抽取3張,其中1張卡牌的獎金為600元,4張卡牌的獎金均為400元,另外4張卡牌的獎金均為200元,所抽到的3張卡牌的金額之和便是該員工所獲得的獎品的最終價值.
(Ⅰ)請根據(jù)題意完善員工的業(yè)績的莖葉圖,并求出員工銷售業(yè)績的中位數(shù);
(Ⅱ)求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
(2)若過且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點,求.
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