如圖，△ABC中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN，分別交AB，AC于M，N兩點，若
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
．試問：
1
x
+
1
y
是否為定值？
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：根據(jù)圖形得
MG
=
AG
-
AM
=（
1
4
-x）
AB
+
1
4
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
1
4
（
AB
+
AC
）=-
1
4
AB
+（y-
1
4
）
AC
，利用共線向量的條件得出（
1
4
-x）（y-
1
4
）+
1
16
=0，
化簡即可得出
1
x
+
1
y
=4=定值．
解答： 解：根據(jù)題意得出，
△ABC中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN，分別交AB，AC于M，N兩點，若
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
．
∴
AG
=
1
2
AD
=
1
4
（
AB
+
AC
），
∴
MG
=
AG
-
AM
=（
1
4
-x）
AB
+
1
4
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
1
4
（
AB
+
AC
）=-
1
4
AB
+（y-
1
4
）
AC
，
∵
MG
∥
GN
，
∴（
1
4
-x）（y-
1
4
）+
1
16
=0，
即
1
4
（x+y）-xy=0，
∴
1
x
+
1
y
=4=定值．
點評：本題考查的知識點是向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)
MG
與
NG
共線，根據(jù)共線向量基本定理知，進(jìn)而得到x，y的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知AB是半圓O的直徑，且AB=4，BC與圓O相切，且BC=4，連接OC與半圓O相交于E點，連接AE并延長與BC交于D點，則CD=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列正確結(jié)論的序號是
 
．
①連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點的充要條件為f（a）•f（b）＜0；
②若函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程是y=
1
2
x+2，則f（1）+f′（1）=3；
③對?x＞0，不等式2x+
1
2x
-a＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2）；
④若f（x）=x5+x4+x3+2x+1，則f（2）的值用二進(jìn)制表示為111101．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱錐P-ABCD的棱長都相等，側(cè)棱PB、PD的中點分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成的二面角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，D是AB中點，（直三棱柱，指側(cè)棱垂直于底面的棱柱）．
（1）求證：AC⊥BC1；　
（2）求證：AC1∥平面CDB1
（3）求點C到平面ABC1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P（x，y）是橢圓x2+
y2
4
=1上的一個動點，則x2+y2的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°側(cè)面PAD⊥底面ABCD．E、F分別為AD、PA中點．
（1）求證：PD∥平面CEF；
（2）求證：平面CEF⊥平面PAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等級產(chǎn)品一等二等甲5（萬元）2.5（萬元）乙2.5（萬元）1.5（萬元）利潤項目產(chǎn)品工人（名）資金（萬元）甲88乙210用量工序產(chǎn)品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級．對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．
（1）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（3）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資．金60萬元．設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何值時，Z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面ABEF⊥平面ABCD、長方形ABEF，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4
（1）求證AC⊥平面BCE
（2）求VE-BCF．

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同步練習(xí)冊答案