(2008•虹口區(qū)二模)(理)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD⊥平面ABCD,PD=3,
(1)若E是棱PB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于F,求證:BC∥EF;
(2)求二面角A-PB-D的大。
分析:(1)先利用直線和平面平行的判定定理得AD∥面PBC,再利用直線和平面平行的性質(zhì)定理得AD∥EF,最后根據(jù)平行線的傳遞性證出BC∥EF.
(2)連接AC交DB于O證出,AO⊥面PDB,過(guò)O作OH垂直PB于H,連接AH得出PB⊥面AOH,所以AH⊥PB,∠AHO 則為二面角A-PB-D的 的平面角.在直角三角形AOH中求解.
解答:解:(1)證明∵AD∥BC,AD?面PBC,BC?面PBC,根據(jù)直線和平面平行的判定定理得AD∥面PBC.
又AD?面ADE,面ADE∩面PBC=EF由直線和平面平行的性質(zhì)定理得AD∥EF∴BC∥EF.
(2)∵PD⊥平面ABCD,∴面PDB⊥平面ABCD,面PDB∩平面ABCD=DB.
連接AC交DB于O,AO⊥面PDB,過(guò)O作OH垂直PB于H,連接AH,PB⊥AOH,AH⊥PB,
∠AHO 則為二面角A-PB-D的 的平面角.
在△PDB中,BO:PB=OH:PD,即
2
2
11
=OH:3,∴OH=
3
22
22

在直角三角形AOH中,tan∠AHO=
AO
OH
=
2
2
3
22
22
=
11
3
,∠AHO=arctan
11
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、二面角的度量、考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力
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3
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x=0或y=-
4
3
x+3

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