Question

（文）已知復數，其中A，B，C是△ABC的內角，若．
（1）求證：；
（2）若|AB|=6，當∠C最大時，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）由題意可得 ，…（2分）
∴，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴． …（6分）
（2），
當且僅當時，tgC最大，即∠C最大…（9分）
此時△ABC是等腰三角形，且底邊上的高，
則S_△ABC=3．…（12分）
分析：（1）根據|z|²=，利用兩角和差的三角函數化簡可得9sinA•sinB=cosA•cosB，從而得到．
（2）由（1）可得 ，利用基本不等式可得tgC≤-，求出tgC取最大值時△ABC
底邊上的高，從而求得S_△ABC 的值．
點評：本題考查兩角和差的三角函數，求復數的模的方法，基本不等式的應用，求出tgC的最大值，是解題的難點．