Question

17．已知函數(shù)f_t（x）=（x-t）²-t，t∈R，設(shè)a＜b，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{a}（x），{f}_{a}（x）＜{f}_（x）}\\{{f}_（x），{f}_{a}（x）≥{f}_（x）}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）+x+a-b有四個零點，則b-a的取值范圍為$（2+\sqrt{5}，+∞）$．

Answer 1

分析 解方程f_a（x）=f_b（x）得交點P（$\frac{a+b-1}{2}$，${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a），函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有四個不同的交點，由圖象知，點P在l的上方，故$\frac{a+b-1}{2}$+${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a-（b-a）＞0，由此解得b-a的取值范圍．

解答 解：作函數(shù)f（x）的圖象，解方程f_a（x）=f_b（x）
得x=$\frac{a+b-1}{2}$，
即交點P（$\frac{a+b-1}{2}$，${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a），
又函數(shù)f（x）+x+a-b有四個零點，
即函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a
有四個不同的交點．
由圖象知，點P在l的上方，所以，
$\frac{a+b-1}{2}$+${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a-（b-a）＞0，
解得b-a＞2+$\sqrt{5}$．
故答案為：$（2+\sqrt{5}，+∞）$

點評 本題主要考查根的存在性以及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．