Question

3．拋擲甲，乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體，其底面落于桌面，記所得數(shù)字分別為x，y．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，若$\frac{x}{y}$為整數(shù)，則ξ=0；若$\frac{x}{y}$為小于1的分?jǐn)?shù)，則ξ=-1；若$\frac{x}{y}$為大于1的分?jǐn)?shù)，則ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）數(shù)對（x，y）共有16種，利用列舉法求出使$\frac{x}{y}$為整數(shù)的種數(shù)，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為-1，0，1，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意，數(shù)對（x，y）共有16種，其中使$\frac{x}{y}$為整數(shù)的有以下8種：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），
所以$P（ξ=0）=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$；
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為-1，0，1，
ξ=-1有以下6種：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故$P（ξ=-1）=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
ξ=1有以下2種：（3，2），（4，3），故$P（ξ=1）=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴P（ξ=0）=1-$\frac{3}{8}-\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	-1	0	1
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為$E（ξ）=-1×\frac{3}{8}+0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．