Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時， 恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時， .

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為； 的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見解析．

【解析】【試題分析】（1）直接對函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來可得： ，再構(gòu)造函數(shù)， ，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減， ，進而求得；（3）先將不等式等價轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時， 恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此時，有：

解：（1））當時，則，令得，所以有

即時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為； 的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由，分離參數(shù)可得： ，

設(shè)， ，

∴，又∵，

∴，則在上單調(diào)遞減，

∴，∴

即的取值范圍為.

（3）證明： 等價于

設(shè)，

∴，由（2）知時， 恒成立，

所以，

∴恒成立

∴在上單調(diào)遞增，

∴，因此時，有.