Question

6．若關(guān)于x的不等式|x-1|＜kx的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由題意求得$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$＜x＜$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$．由于 $\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$∈（0，1），故這三個整數(shù)分別為1，2，3，結(jié)合|x-1|＜kx，可得1＞k＞0，故$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$∈（3，4]，由此求得k的范圍．

解答 解：由關(guān)于x的不等式|x-1|＜kx，可得x²-2x+1＜k²x²，即（1-k²）x²-2x+1＜0，
由于它的解集中恰有三個整數(shù)，∴1-k²＞0，△=4-4（1-k²）=4k²＞0，∴-1＜k＜1，且k≠0．
求得$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$＜x＜$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$．
由于0＜1-|k|＜1-k²，∴$\frac{1-|k|}{1{-k}^{2}}$∈（0，1），故這三個整數(shù)分別為1，2，3，
結(jié)合|x-1|＜kx，可得1＞k＞0，故$\frac{1+|k|}{1{-k}^{2}}$=$\frac{1+k}{1{-k}^{2}}$∈（3，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k＞3-{3k}^{2}}\\{1+k≤4-{4k}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1或k＞\frac{2}{3}}\\{-1≤k≤\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，求得 $\frac{2}{3}$＜k≤$\frac{3}{4}$，
則實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
故答案為：（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查學(xué)生解含參一元二次不等式的能力，運用一元二次不等式解決數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題．