Question

設(shè)函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)

，

的導(dǎo)函數(shù)，…，的導(dǎo)函數(shù)，.

（1）求；

（2）用n表示；

（3）設(shè)，是否存在使最大？證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）故當(dāng)或時，取

最大值.

【解析】

試題分析：⑴易得,,                          

                                       

,所以                       

⑵不失一般性，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

，其中，常數(shù)，.

對求導(dǎo)得：  

故由得：      ①，

 ②，            ③ 

由①得： ，                                      

代入②得：，即，其中

故得：.                                        

代入③得：，即，其中.

故得：，                                

因此.

將代入得：，其中.                

（3）由（1）知，

當(dāng)時，，

，故當(dāng)最大時，為奇數(shù).                 

當(dāng)時，                  

又，

，

，因此數(shù)列是遞減數(shù)列                

又，，                     

故當(dāng)或時，取最大值.      

考點：導(dǎo)數(shù) 數(shù)列綜合

點評：本題是數(shù)列綜合題，利用轉(zhuǎn)化法把非常規(guī)數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列來處理是關(guān)鍵，

屬難題.