Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．過點（m，0）作圓的切線l交橢圓C于A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）將△OAB的面積表示為m的函數(shù)，并求出面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,壓軸題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由離心率及橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切求出a，b，從而得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AB|的距離，表示出△OAB的面積，利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由題意，e²=(

c

a

)2=

a2-b2

a2

=

1

2

，
則a²=2b²；
又∵b=

| 2 |

1+1

=1，
∴b²=1，a²=2；
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意，設(shè)直線l的方程為x=ky+m，（|m|≥1），
由

x2 2 +y2=1 x=ky+m

消去x得，
（k²+2）y²+2kmy+m²-2=0．
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-

2km

k2+2

，y₁y₂=

m2-2

k2+2

；
又由l與圓x²+y²=1相切，得

|m|

k2+1

=1，
即m²=k²+1，
∴|AB|=

1+k2

•|y₁-y₂|
=

(1+k2)[ 8k2-8m2+16 (k2+2)2 ]

=

2 2 |m|

m2+1

．
又∵原點到直線l的距離d=1，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

2 |m|

m2+1

（m≥1）．
又∵

2 |m|

m2+1

=

2

|m|+ 1 |m|

≤

2

2

，
（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時，等號成立）．
∴m=±1時，△OAB的面積最大，最大值為

2

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線方程的求法及圓錐曲線內(nèi)的面積問題，化簡比較復(fù)雜，做題要細(xì)心．屬于難題．