Question

已知a_n≠0，a₁=1，a_n=

2Sn2

2Sn-1

，（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a_n=

2Sn2

2Sn-1

=S_n-S_n-1，（n≥2），整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求S_n，進(jìn)而可求a_n．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

2Sn2

2Sn-1

，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴

2Sn2

2Sn-1

=S_n-S_n-1（n≥2）
即有2S_n²-2S_nS_n-1-S_n+S_n-1=2S_n²，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以2為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=

1

2n-1

．
∴a_n=

2Sn2

2Sn-1

=

2• 1 (2n-1)2

2• 1 2n-1 -1

=

1

(2n-1)(3-2n)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵構(gòu)造法的應(yīng)用．