Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），則a_n=（2n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
可得數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×1$=$\frac{2n-1}{2}$，
解得a_n=（2n-1）•2^n-1．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=（2n-1）•2^n-1．
故答案為：（2n-1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．