Question

12．不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=0，或a≤-1}．

Answer 1

分析 分a=0、a＞0、a＜0三種情況，分別檢驗(yàn)是否滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，
①當(dāng)a=0時，由于ax＞0無解，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，滿足條件．
②當(dāng)a＞0時，由ax＞0求得x＞0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，故不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為{ x|x＞0}≠∅，故不滿足條件．
③當(dāng)a＜0時，由ax＞0求得x＜0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，
若-a-1≥0，即a≤-1時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，滿足條件；
若-a-1＜0，即0＞a＞-1時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為{x|-a-1＜x＜0}≠∅，不滿足條件，
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=0，或a≤-1}，
故答案為：{a|a=0，或a≤-1}．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式組的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．