Question

若函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則2a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)?f′（x）=0在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)?g（x）=x²+（a+2）x+a+b=0在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
可得△=（a+2）²-4（a+b）＞0，-2＜-

a+2

2

＜0，g（-2）＞0，g（0）＞0．化簡即可得出a，b滿足的約束條件，畫出可行域，即可得出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
?f′（x）=0在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
?g（x）=x²+（a+2）x+a+b=0在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴△=（a+2）²-4（a+b）＞0，-2＜-

a+2

2

＜0，g（-2）＞0，g（0）＞0．
化為

a2+4-4b＞0 -2＜a＜2 a+b＞0 a＜b

．
畫出可行域：
聯(lián)立

a2+4-4b=0 a-b=0

解得a=b=2．
聯(lián)立

a2+4-4b=0 a-b=0

，解得a=-2，b=2．
設(shè)2a+b=t，則b=-2a+t，
當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)（2，2）時(shí)，t=2×2+2=6，取得最大值；
當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)（-2，2）時(shí)，t=2×（-2）+2=-2，取得最小值．
∴-2＜2a+b＜6．
故2a+b的取值范圍是（-2，6）．
故答案為：（-2，6）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程在給出的區(qū)間上有實(shí)數(shù)根的求法、約束條件、可行域、目標(biāo)函數(shù)的最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．