Question

【題目】（改編）已知數(shù)列滿足， ， .

（1）若， ， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)數(shù)列滿足： ， ，設(shè)，若， ，求的取值范圍；

（3）若成公比的等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公比.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的最大值為1999，此時(shí)公比.

【解析】試題分析：（1）依題意得 ；（2）令 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 是公比為的等比數(shù)列，

，然后利用分類討論思想求得 ；（3）令

當(dāng) 時(shí)，

的最大值為此時(shí).

試題解析：

（1）依題意， ，∴，

又，∴，綜上可得： ；

（2）令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 是公比為的等比數(shù)列， ，

設(shè)，若，求的范圍.

由已知得： ，又，∴

當(dāng)時(shí)， ， ，即，成立

當(dāng)時(shí)， ， ，即，

∴，此不等式即，∵，

∴，

對(duì)于不等式，令，得，解得，

又當(dāng)時(shí)， ，

∴成立，

∴

當(dāng)時(shí)， ， ，即

即， ， ，

∵

∴時(shí)，不等式恒成立，綜上， 的取值范圍為.

（3）令，則是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，

滿足，顯然，當(dāng)， 時(shí)，是一組符合題意的解，

∴，則由已知得：

∴，當(dāng)時(shí)，不等式即， ，

∴， ，

∴時(shí)， ，

解得，∴，

∴的最大值為1999，此時(shí)公差，

此時(shí)公比.