Question

{a_n}是正項數(shù)列，其前n項．和為Sn，且1與Sn的幾何平均數(shù)等于1與a_n的算術(shù)平均數(shù)．
（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列，并求a_n
（2）若＜（m²-m）關(guān)于n∈N^*恒成立，求正數(shù)m的范圍；
（3）記T_n=，求證：4T_2ⁿ≥n+2．

Answer 1

【答案】分析：第1問利用幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的概念列出S_n與a_n的關(guān)系式，然后利用：可得出a_n與a_n-1遞推關(guān)系證明出{a_n}是等差數(shù)列；第2問因為第1問知{a_n}是等差數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和可以用裂項法求出，然后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以證明出該不等式．第3問先表達(dá)出T_n，然后在表達(dá)出，在構(gòu)造，利用f（n）-f（n-1）結(jié)果的正、負(fù)來判斷出單調(diào)性，從而可以證明出最后的結(jié)論．
解答：解：（1）由題意得：，即4S_n=1+2a_n+a_n²      ①
當(dāng)n=1時，a₁=1
當(dāng) n≥2時，4S_n1=1+2a_n-1+a_n-1^{2 ②
又}a_n＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴{a_n}是以a₁=1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1…4分
（2）由（1）知：
=
=
=
由數(shù)列單調(diào)性知：
由題意得：，其中m＞0且 m≠1
∵=
∴≥1=log_m^m…③
由得：m＞1
 所以由③可得：m²-m≥m，即  m（m-2）≥0，∴m≥2  
 m的范圍為[2，+∞）…9分
（3）由題意得：
∴
令
則
=
              
∴f（n）單調(diào)遞增．
由
∴f（n）≥0
∴…14分
點(diǎn)評：本題的第1問主要考查了運(yùn)用及等比數(shù)列的定義．第2問主要考查裂項法求和，關(guān)鍵要弄清裂項法“什么時候用？怎么用？”，難點(diǎn)在有根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出過渡到．第3問主要證明不等式的方法是作差，把差式構(gòu)造成關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，利用后項減前項得出了單調(diào)性，體現(xiàn)了用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的常規(guī)方法．總體來說綜合性較強(qiáng)難度偏大．