Question

（2012•桂林模擬）已知數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，其首項(xiàng)a₁=3，前n項(xiàng)和為Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)．
（1）求數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)a₂及通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

Sn

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為K_n，求證：Kn＜

17

21

．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，解得a₂=4，由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，由此能求出數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)a₂及通項(xiàng)公式
（2）由S_n=n²+n+1，知bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能夠證明Kn＜

17

21

．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，其首項(xiàng)a₁=3，
前n項(xiàng)和為Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)，
∴S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
∴3+a₂=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
解得a₂=4，或a₂=-2（舍），
由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，
得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，
兩式相減，得：(

an+an-1

2

)•(

an-an-1

2

-1)=0，n≥3，
∴a_n-a_n-1=2，n≥3，
∴an=

3，n=1 2n，n≥2

．
（2）∵S_n=n²+n+1，
∴bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴k_n≤

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

n

)
＜

1

3

+

1

7

+

1

3

＜

17

21

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．