Question

15．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且$2{a_1}+3{a_2}=1，{a_3}^2=9{a_2}{a_6}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)一步求得首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，得到數(shù)列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由${{a}_{3}}^{2}=9{a}_{2}{a}_{6}$，得${{a}_{3}}^{2}=9{{a}_{4}}^{2}$，解得${q^2}=\frac{1}{9}$，
由條件可知a_n＞0，故$q=\frac{1}{3}$．
由2a₁+3a₂=1，得2a₁+3a₁q=1，∴${a_1}=\frac{1}{3}$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$；
（2）${b_n}={log_3}{a_1}+{log_3}{a_2}+…+{log_3}{a_n}=-（1+2+…+n）=-\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$-\frac{1}{b_n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=（-\frac{1}{b_1}）+（-\frac{1}{b_2}）+…+（-\frac{1}{b_n}）=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．
∴數(shù)列$\left\{{-\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．