精英家教網(wǎng)如圖，已知四面體O-ABC中，E、F分別為AB，OC上的點，且AE=
13
AB，F(xiàn)為中點，若AB=3，BC=1，BO=2，且∠ABC=90°，∠OBA=∠OBC=60°，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．
分析：本題可利用向量運算來解答，設空間一組基底
BO
，
BC
，
BA
，利用空間向量基本定理表示出向量
BF
，
OE
，可利用向量的數(shù)量積以及夾角公式解得向量
BF
，
OE
的夾角余弦值cos＜
BF
，
OE
＞，從而得到異面直線的夾角余弦值|cos＜
BF
，
OE
＞|．
解答：解：∵
BF
=
1
2
(
BO
+
BC
)，
OE
=
2
3
BA
-
BO
，
∴|
BF
|2=
1
4
(|
BO
|2+|
BC
|2+2
BO
•
BC
)=
1
4
(4+1+2|
BO
||
BC
|cos60°)=
7
4
，|
BF
|=
7
2
；|
OE
|2=
4
9
|
BA
|2+|
BO
|2-
4
3
BA
•
BO
=4+4-4=4，|
OE
|=2．
又
BF
•
OE
=
1
2
(
2
3
BA
•
BO
-|
BO
|2+
2
3
BC
•
BA
-
BC
•
BO
)=
1
2
(2-4-1)=-
3
2
，
∴cos＜
BF
，
OE
＞=
BF
•
OE
|
BF
||
OE
|
=
-3
2
7
=-
3
7
14
，
故異面直線OE與BF所成的角的余弦值為：
3
7
14
．
點評：本題考查空間幾何體的概念，異面直線以及異面直線所成角的概念，向量法解答幾何問題的“三步曲”思想的應用，考查了向量的數(shù)量積的運算律，夾角公式，空間向量基本定理的應用．
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