Question

已知（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0，則4x+y的值為________..

Answer 1

0
分析：結合條件（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0和要求的結論（4x+y的值）可將條件等價變形為（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0，故可構造函數f（x）=x²⁰⁰¹+x即可將條件等價變形為f（3x+y）+f（x）=0再結合f（x）的單調性和奇偶性即可解題．
解答：構造函數f（x）=x²⁰⁰¹+x，則（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0
∴f（3x+y）+f（x）=0
∵f（-x）=-（x²⁰⁰¹+x）=-f（x）且定義域為R關于原點對稱
∴f（x）的奇函數
∴f（3x+y）=f（-x）
又易得f（x）=x²⁰⁰¹+x為R上的單調遞增函數
∴3x+y=-x
∴4x+y=0
故答案為0
點評：本題主要考查了函數的單調性和奇偶性．解題的關鍵是要構造函數f（x）=x²⁰⁰¹+x否則此題很難求解．