Question

8．在平面直角坐際系xOy中，P是橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$$+\frac{{x}^{2}}{3}$=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），B（0，-1），則|PA|+|PB|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，-1）和B'（0，1）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長線上時(shí)，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5達(dá)到最大值，從而得到本題答案．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$$+\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，-1）和B'（0，1），
連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，
得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4-|PB'|，
因此|PA|+|PB|=|PA|+（4-|PB'|）=4+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長線上時(shí)，等號成立．
綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為5．
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出橢圓內(nèi)部一點(diǎn)A，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)B的距離和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．