Question

19．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的體積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，表面積是$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，△ABC是邊AC=2，邊AC上的高OB=1，PO=$\sqrt{3}$為底面上的高．據(jù)此可計(jì)算出表面積和體積．

解答 解：由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐，

其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，△ABC是邊AC=2，
邊AC上的高OB=1，PO=$\sqrt{3}$為底面上的高．
于是此幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•PO=$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$×2×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
幾何體的表面積S=S_△PAC+S_△ABC+2S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2+$\frac{1}{2}$×2×1+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{{1}^{2}+{1}^{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．