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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，M為PD的中點，PA=AB．
（I）求直線BC與平面ACM所成角的正弦值；
（II）求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值．
分析：（I）利用VM-ADC=VD-AMC，求出D到平面AMC的距離，從而可得直線AD與平面ACM所成角的正弦值；
（II）過M作ME⊥PA，垂足為E，連接BE，則△ABE為△ACM在平面PAB中的射影，利用面積射影法，可求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值．
解答：解：（I）設PA=AB=2a，D到平面AMC的距離為d，則AM=DM=
2
a，CM=
6
a，AD=DC=2a，AC=2
2
a，
∵AM2+CM2=AC2，∴AM⊥CM
∴S△AMC=
1
2
×
2
a×
6
a=
3
a2
∵S△ADC=2a2
∴由VM-ADC=VD-AMC可得
1
3
×2a2×a=
1
3
×
3
a2×d
∴d=
2
3
3
a
∵AD=2a，∴直線AD與平面ACM所成角的正弦值為
3
3

∵AD∥BC，∴直線BC與平面ACM所成角的正弦值為
3
3
；
（II）過M作ME⊥PA，垂足為E，連接BE，則△ABE為△ACM在平面PAB中的射影
∵AB=2a，AE=a，∴S△ABE=a2
∵S△AMC=
3
a2
∴平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值為
S△ABE
S△AMC
=
3
3
．
點評：本題考查線面角，考查面面角，解題的關鍵是求出點到面的距離，確定三角形的面積，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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