Question

若⊙C：x²+y²+2ax+a²-4=0（a∈R）與⊙D：x²+y²-2by-1+b²=0（b∈R）外切，則

b-4

a-3

范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：求出兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓外切得到關(guān)于a，b的關(guān)系式即可得到結(jié)論．

解答： 解：⊙C：x²+y²+2ax+a²-4=0（a∈R）與⊙D：x²+y²-2by-1+b²=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
⊙C：（x+a）²+y²=4，（a∈R）與⊙D：x²+（y-b）²=1，
則圓心C坐標(biāo)為（-a，0），半徑R=2，圓心D坐標(biāo)為（0，b），半徑r=1，
∵兩圓外切，
∴CD=

a2+b2

=2+1=3，
即a²+b²=9，
設(shè)k=

b-4

a-3

，則b-4=k（a-3），即ka-b+4-3k=0，
則k的幾何意義為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（3，4）的斜率，
當(dāng)圓心O與直線kx-b+4-3k=0相切時(shí)，
圓心到直線的距離d=

|4-3k|

1+k2

=3，
平方得k=-

7

24

，
即k≥-

7

24

，
故

b-4

a-3

范圍是[-

7

24

，+∞），
故答案為：[-

7

24

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．