Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合分母為正，分子結(jié)合二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，找出函數(shù)值為正值、負(fù)值的區(qū)間，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[1，2]遞減，在（2，e]遞增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-2ln2，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$＜f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e，
故f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=$\frac{1}{2}$e²-e；
（2）a≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
∴①當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
②當(dāng)a=-2時(shí)，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
③當(dāng)a＜-2時(shí)，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．