Question

11．函數(shù)f（x）=axⁿ（2-x）²在區(qū)間[0，2]上的圖象如圖所示，則n的值可能是（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先求導，再結合圖象和導數(shù)和函數(shù)的關系，得到f（x）在x=$\frac{2n}{n+2}$處有極大值，也是最大值，即可得到1＜$\frac{2n}{n+2}$＜1.5，判斷即可．

解答 解：∵f（x）=axⁿ（2-x）²，
∴f′（x）=anx^n-1×（2-x）²+axⁿ×2（2-x）×（-1）=ax^n-1（x-2）（x-$\frac{2n}{n+2}$），
∵$\frac{n}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$＜1，
∴x-$\frac{2n}{n+2}$＜2，
當0＜x＜$\frac{2n}{n+2}$時 f（x）'＞0，
當$\frac{2n}{n+2}$＜x＜2時 f（x）'＜0，
∴f（x）在x=$\frac{2n}{n+2}$處有極大值，也是最大值，
∵在圖中最大值在1到1.5之間，
∴1＜$\frac{2n}{n+2}$＜1.5，
解得2＜n＜6，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點與導函數(shù)之間的關系，屬于中檔題．