Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且經(jīng)過點（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左、右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P在橢圓上運動，求|PF₁|•|PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，再由基本不等式求得|PF₁|•|PF₂|的最大值．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$．
∴橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）∵P在橢圓上運動，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴|PF₁|•|PF₂|≤$（\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}）^{2}=（\frac{4}{2}）^{2}=4$，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時等號成立，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值為4．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓的定義及基本不等式的應用，屬中檔題．