Question

18．設正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球O的球面上，BC=1，E、F分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，則球O的半徑為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)EF與DE的垂直關系，結合正棱錐的性質(zhì)，判斷三條側棱互相垂直，再求得側棱長，根據(jù)體積公式計算即可

解答 解∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中點O，連接AO、CO，∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；
∴AC⊥AB，
設AC=AB=AD=x，則x²+x²=1⇒x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
所以三棱錐對應的長方體的對角線為$\sqrt{3（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以它的外接球半徑為$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
故選：B．

點評 本題考查了正三棱錐的外接球半徑求法，關鍵是求出三棱錐的三條側棱長度，得到對應的長方體對角線，即外接球的直徑．