Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4（a₃+1），3a₃=5a₄，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁b₂=b₃，2b₁=a₅．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （ I）通過令等差數(shù)列{a_n}的公差為d，聯(lián)立S₄=4（a₃+1）、3a₃=5a₄，計(jì)算可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得a_n=11-2n；通過令數(shù)列{b_n}的公比為q，聯(lián)立b₁b₂=b₃、2b₁=a₅，計(jì)算可知首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可得${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$；
（2）通過（I）知，${S_n}=10n-{n^2}$，分n≤5與n≥6兩種情況討論即可．

解答 解：（ I）令等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₄=4（a₃+1），3a₃=5a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}4{a_1}+6d=4（{{a_1}+2d+1}）\\ 3{a_1}+6d=5{a_1}+15d\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=9\\ d=-2\end{array}\right.$，
則a_n=11-2n；
令數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁b₂=b₃，2b₁=a₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b_1}^2q={b_1}{q^2}\\ 2{b_1}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=\frac{1}{2}\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
則${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$；
（2）通過（I）知，${S_n}=10n-{n^2}$，
于是${T_n}=\left\{\begin{array}{l}{S_n}=10n-{n^2}，n≤5\\ 2{S_5}-{S_n}={n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．