Question

20．如圖，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為4，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)₂P與y軸交于點(diǎn)A，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，若|PQ|=1，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|PQ|=1，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，根據(jù)切線長定理，可得|PF₁|-|PF₂|=2，結(jié)合|F₁F₂|=4，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線的焦距為4，
∴|F₁F₂|=4，∴c=2
∵|PQ|=1，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，
∴根據(jù)切線長定理可得AM=AN，F(xiàn)₁M=F₁Q，PN=PQ，
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴AM+F₁M=AN+PN+NF₂，
∴F₁M=PN+NF₂=PQ+PF₂
∴|PF₁|-|PF₂|=F₁Q+PQ-PF₂=F₁M+PQ-PF₂=PQ+PF₂+PQ-PF₂=2PQ=2，
即2a=2，則a=1，
∵a=1，c=2
∴雙曲線的離心率是e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查切線長定理，考查學(xué)生的計算能力，利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．