Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，它們的圖象在x=1處有相同的切線．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-mg（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，把x=1分別代入到f（x）和g（x）中，得到的函數(shù)值相等得到關(guān)于a與b的方程，分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，得到的導(dǎo)函數(shù)值相等又得到關(guān)于a與b的另一個方程，兩方程聯(lián)立即可求出a與b的值；
（Ⅱ）把f（x）和g（x）的解析式代入確定出h（x）的解析式，求出h（x）導(dǎo)函數(shù)，由h（x）在區(qū)間上為增函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0列出不等式，解出m小于等于一個函數(shù)，設(shè)此函數(shù)為F（x），求出F（x）導(dǎo)函數(shù)等于0時x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值，令m小于等于求出的最小值，即可得到m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，（2分）
由條件知

f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)

，（4分）
∴

1+a=2+b 3+a=4

，
∴

a=1 b=0

（6分）
（Ⅱ）h（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，
∴h′（x）=3x²-4mx+1，若h（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上為增函數(shù)，
則需h′（x）≥0，即3x²-4mx+1≥0，∴m≤

3x2+1

4x

．（9分）
令F（x）=

3x2+1

4x

，x∈[

1

2

，3]，
令F（x）=

12x2-4

16x2

=0，解得x=

3

3

，
x，F(xiàn)′（x）及F（x）的變化情況如下：

x	[ 1 2 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，3]
F'（x）	-	0	+
F（x）	↓	最小值 3 2	↑

則F（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的最小值是F（

3

3

）=

3

2

，
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤

3

2

．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則，以及不等式恒成立時滿足的條件．