Question

15．已知點A是拋物線y²=2px上的一點，F(xiàn)為其焦點，若以F為圓心，以|FA|為半徑的圓交準線于B，C兩點，且△FBC為正三角形，當△ABC的面積是$\frac{128}{3}$時，則拋物線的方程為y²=16x．

Answer 1

分析 由題意得|BC|=|AF|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$p，利用△ABC的面積是$\frac{128}{3}$，由拋物線的定義可得$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p=$\frac{128}{3}$，求出p，可得拋物線的方程．

解答 解：由題意得|BC|=|AF|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$p，
∵△ABC的面積是$\frac{128}{3}$，
∴由拋物線的定義可得$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p=$\frac{128}{3}$，
∴p=8，∴拋物線的方程為y²=16x．
故答案為：y²=16x．

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查三角形面積的計算，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵．