Question

20．已知集合M{h（x）|h（x）的定義域為R，且對任意x都有h（-x）=-h（x）}設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a，b為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時，判斷是否有f（x）∈M，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）∈M，且對任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，計算f（-1），f（1），即可判斷；
（2）由題意可得可得f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$對x∈R恒成立，即有（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，求得a，b，再由指數(shù)函數(shù)的值域求得f（x）的范圍，由恒成立思想可得sinθ≥$\frac{1}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象即可得到所求范圍．

解答 解：（1）舉反例即可．f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$，由f（-1）=$\frac{-{2}^{-1}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，
f（1）=$\frac{-2+1}{4+1}$=-$\frac{1}{5}$，可得f（-1）≠-f（1），即有f（x）∉M；
（2）由f（x）∈M，可得f（-x）=-f（x），即
$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$對x∈R恒成立，
即有（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，
即為$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
由f（x）的定義域為R，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$舍去，
故a=1，b=2，即有f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
由2^x＞0，可得1+2^x＞1，即0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
則f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由對任意的x都有f（x）＜sinθ成立，可得
sinθ≥$\frac{1}{2}$，
解得2kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想求出函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．