Question

5．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=$\frac{1}{2}$，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率以及△ABF₂的周長為8，求出a，c，b，即可得到橢圓的方程，
（2）求出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B坐標，然后求解三角形的面積即可．

解答 解：（1）由題意知，4a=8，所以a=2，
又e=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1．∴b²=2²-1=3．
從而橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+1）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：5x²+8x=0．
解得：x₁=0，x₂=$-\frac{8}{5}$，
所以y₁=$\sqrt{3}$，y₂=$-\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
則S=c|y₁-y₂|=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．