(北京海淀模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>R，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)和中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有，求證：函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)；

(3)求證：若a＞1，則函數(shù)是Ω函數(shù)．

答案：略
解析：

證明：(1)∵|x||sin x|≤|x|，

是Ω函數(shù)；

∵，

∴不滿足|f(0)|≤|0|，

∴不是Ω函數(shù)；

∵當(dāng)x=0時(shí)，顯然符合條件；當(dāng)x≠0時(shí)，，

∴是Ω函數(shù)．

(2)∵函數(shù)y=f(x)是定義在R的奇函數(shù)，

∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0．

∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|，

∴函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．

(3)設(shè)F(x)=f(x)－x，則．

①當(dāng)x＞0時(shí)，∵a＞1，

∴，

當(dāng)x=0時(shí)，，

∴當(dāng)x≥0時(shí)，．

∴F(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)．

F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0，

∴F(x)=f(x)－x≤0．

∵x＞0時(shí)，，

∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴f(x)≥f(0)=0．

∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|．

②當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|，

顯然f(x)為偶函數(shù)，

∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|，

∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，則函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)已知，決斷f(x)是否是“凹函數(shù)”，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；

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(2)判斷f(x)在區(qū)間(α、β)上的單調(diào)性，并加以證明；

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