Question

【題目】已知A，B分別是直線y=x和y=﹣x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2 ，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|=3時(shí)，求直線l的方程；
②試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)E（m，0），使 恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），

∵D是AB的中點(diǎn)，∴x= ，y= ，

∵|AB|=2 ，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，

∴（2y）2+（2x）2=12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2+y2=3

（2）解：①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P（1， ），Q（1，﹣ ），此時(shí)|PQ|=2 ，不符合題意；

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為 ，

由 = ，解得k=± ．故直線l的方程為y=± （x﹣1）．

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x﹣1），

由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則由韋達(dá)定理得x1+x2= ，x1x2= ，

則 =（m﹣x1，﹣y1）， =（m﹣x2，﹣y2），

∴ =（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2

=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）

=m2﹣ + +k2 （ ﹣ +1）=

要使上式為定值須 =1，解得m=1，∴ 為定值﹣2，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P（1， ），Q（1，﹣ ），

由E（1，0）可得 =（0，﹣ ）， =（0， ），

∴ =﹣2，

綜上所述當(dāng)E（1，0）時(shí)， 為定值﹣2

【解析】（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），然后根據(jù)線段AB的長(zhǎng)為2 ，D是AB的中點(diǎn)消去a與b，得到x與y的等量關(guān)系，即為動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式關(guān)系，從而求出直線方程；②討論直線l的斜率是否存在，不存在時(shí)直接求 ，存在時(shí)，將直線與圓聯(lián)立方程組，消去y，然后設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），將 表示出來(lái)，使其與k無(wú)關(guān)即可求出m的值．