Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期為π，且圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2），可得A，由周期T=π，可得ω，由點M（

2π

3

，-2）在圖象上，得2sin（2×

2π

3

+φ）=-2，
又0＜φ＜

π

2

，可解得φ，從而可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： （本題滿分為9分）
解：（Ⅰ）由圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2），可得A=2…1分
由周期T=π，可得ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）…2分
由點M（

2π

3

，-2）在圖象上，得2sin（2×

2π

3

+φ）=-2，
即有sin（

4π

3

+φ）=-1，…3分
∴

4π

3

+φ=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴φ=-

11π

6

+2kπ（k∈Z），…4分
∵0＜φ＜

π

2

∴k=1，φ=

π

6

，
∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）…5分
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）可解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）…9分

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．