如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中,側(cè)面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.
(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大。
(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于點(diǎn)O,
∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱長都相等,
∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則
A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0),;
∴.設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1)
則 解得n=(-1,0,1).
由cos<>=
而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角,即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角,
∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為
(Ⅱ)∵而 ∴
又∵B(,0,0),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-,0,0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,
則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0,y,z). ∴
∵DP∥平面AB1C,n=(-1,0,1)為平面AB1C的法向量,
∴由,得
又DP平面AB1C,故存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C,其從標(biāo)為(0,0,),即恰好為A1點(diǎn)
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
BD |
BA |
BC |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中,側(cè)面AACC⊥底面ABC,
∠AAC=60°.(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大。
(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山東省高二12月份月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中,側(cè)面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.
(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大。
(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角的正弦值;
(Ⅱ)已知點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn),在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
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