Question

如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)A₁在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求側(cè)棱AA₁與平面A₁BC所成角的正弦值；

   （Ⅱ）已知點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，OC，OA₁依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A₁(0,0,)，A(0,-1,0)，B(,0,0)，C(0,1,0)

   （Ⅰ），

設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為

則

∴=(

設(shè)直線AA₁與平面A₁BC所成角為θ

則  sinθ=|cos<,>|=

即側(cè)棱AA₁與平面A₁BC所成角正弦值為.

   （Ⅱ）設(shè)B₁(，則

∵  

∴=  ∴

∴B₁,   

∴

設(shè)平面ACB₁的一個(gè)法向量是，

則

∴=(-1,0,1)

假設(shè)在AA₁上存在P(0,m,n)使DP∥平面AB₁C,

∵D、B關(guān)于O對(duì)稱    ∴D    ∴=(,m,n)

∴=   ∴n=

故當(dāng)點(diǎn)P與A₁重合時(shí)，DP∥平面AB₁C．