如圖,在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點(diǎn).

   (Ⅰ)求側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角的正弦值;

   (Ⅱ)已知點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,OC,OA1依次為軸、軸,軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A1(0,0,),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0)

   (Ⅰ)

設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為

=(

設(shè)直線AA1與平面A1BC所成角為θ

則  sinθ=|cos<,>|=

即側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角正弦值為.

   (Ⅱ)設(shè)B1(,則

  

=  ∴

∴B1,   

設(shè)平面ACB1的一個(gè)法向量是

=(-1,0,1)

假設(shè)在AA1上存在P(0,m,n)使DP∥平面AB1C,

∵D、B關(guān)于O對(duì)稱    ∴D    ∴=(,m,n)

=   ∴n=

故當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時(shí),DP∥平面AB1C.

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精英家教網(wǎng)如圖,在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.
(Ⅰ)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足
BD
=
BA
+
BC
,在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-ABC中,側(cè)面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.

(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

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如圖,在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-ABC中,側(cè)面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.

(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大;

(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足,在直線AA上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面ABC?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

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