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【題目】已知圓的標準方程為,圓心為,直線的方程為,點在直線上,過點作圓的切線,,切點分別為,

1)若,試求點的坐標;

2)若點的坐標為,過作直線與圓交于兩點,當時,求直線的方程;

3)求證:經過,三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標.

【答案】1;(2;(3)詳見解析.

【解析】

試題(1)點在直線上,設,由對稱性可知,可得,從而可得點坐標.(2)分析可知直線的斜率一定存在,設其方程為:.由已知分析可得圓心到直線的距離為,由點到線的距離公式可求得的值.(3)由題意知,即.所以過三點的圓必以為直徑.設,從而可得圓的方程,根據的任意性可求得此圓所過定點.

試題解析:解:(1)直線的方程為,點在直線上,設,

由題可知,所以,

解之得:故所求點的坐標為

2)易知直線的斜率一定存在,設其方程為:,

由題知圓心到直線的距離為,所以,

解得,,

故所求直線的方程為:

3)設,則的中點,因為是圓的切線,

所以經過三點的圓是以為圓心,以為半徑的圓,

故其方程為:

化簡得:,此式是關于的恒等式,

解得

所以經過三點的圓必過定點

練習冊系列答案
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