Question

【題目】已知圓的標準方程為，圓心為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，，切點分別為，．

（1）若，試求點的坐標；

（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于兩點，當時，求直線的方程；

（3）求證：經過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或；（3）詳見解析．

【解析】

試題（1）點在直線上，設，由對稱性可知，可得，從而可得點坐標．（2）分析可知直線的斜率一定存在，設其方程為：．由已知分析可得圓心到直線的距離為，由點到線的距離公式可求得的值．（3）由題意知，即．所以過三點的圓必以為直徑．設，從而可得圓的方程，根據的任意性可求得此圓所過定點．

試題解析：解：（1）直線的方程為，點在直線上，設，

由題可知，所以，

解之得：故所求點的坐標為或．

（2）易知直線的斜率一定存在，設其方程為：，

由題知圓心到直線的距離為，所以，

解得，或，

故所求直線的方程為：或．

（3）設，則的中點，因為是圓的切線，

所以經過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：

化簡得：，此式是關于的恒等式，

故解得或

所以經過三點的圓必過定點或．