Question

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，

且．若為中點，為線段上的點，且．

（1）求證：平面；

（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

(1)詳見解析;(2)．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BD交AC于O，取PF中點G，連結(jié)OF，BG，EG，利用EO，EG分別為BG，F(xiàn)C的中位線，得到它們對應(yīng)平行，進而得到平面BEG與平面ACF平行，再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行．

（2）要求線面角，需要先找到線面角的代表角，即過C點做面PAD的垂線，因為PA垂直于底面，所以過C作線段AD的垂線與AD交于H，則CH垂直于面PAD，所以角CPH即為線面角的代表角，要求該角的正弦值，就需要求出PC與CH，可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過勾股定理求出，進而得到線面角的正弦值．

【解析】
（1）證明1：連接BD交AC于點O，取中點，連接、、．

因為、分別是、的中點， 所以，

又 ，所以 2分

因為、分別是、的中點，

所以，同理可得 4分

又 所以，平面平面．

又因為平面，故平面． 6分

證明2：作AH垂直BC交BC于H

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ，

令A(yù)D=PA=2,則AB=1

所以

為中點， 所以 2分

設(shè)面AFC的一個法向量，又

由,

所以

令 4分

所以

所以 故平面． 6分

（2）解1：因為，，所以．

過C作AD的垂線，垂足為H，則，，所以平面PAD．

故為PC與平面PAD所成的角． 9分

設(shè)，則，，，

所以，即為所求． 12分

解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ，

令A(yù)D=PA=2,則AB=1,所以 8分

因為,所以面PCD的一個法向量為 10分

令PC與平面PAD所成的角為，則

故PC與平面PAD所成角的正弦值為． 12分．

考點：1．直線與平面所成的角；2．直線與平面平行的判定．