已知拋物線C：y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
1
4
，且C上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，并且x1x2=-
1
2
，那么m=
3
2
3
2
．
分析：先由拋物線的定義p的意義可求出a，根據(jù)C上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱可設(shè)出直線AB的方程，把直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出直線AB的方程，再根據(jù)線段AB關(guān)于直線y=x+m對稱性即可求出m的值．
解答：解：∵拋物線C：y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
1
4
，
∴
1
2a
=
1
4
，解得a=2．
∴拋物線C的方程為：y=2x2（a＞0）．
∵拋物線C上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，
∴可設(shè)直線AB的方程為y=-x+t．
聯(lián)立
y=-x+t
y=2x2
，消去y得2x2+x-t=0，
∵直線AB與拋物線相較于不同兩點(diǎn)，∴△=1+4t＞0．
據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=-
1
2
，x1x2=-
t
2
，由已知x1x2=-
1
2
，∴t=1．
于是直線AB的方程為y=-x+1，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（xM，yM），則xM=
x1+x2
2
=-
1
4
，
∴yM=-(-
1
4
)+1=
5
4
．
把M(-
1
4
，
5
4
)代入直線y=x+m得
5
4
=-
1
4
+m，解得m=
3
2
．
故答案為
3
2
．
點(diǎn)評：熟練掌握拋物線的定義p的意義、直線（或線段）關(guān)于直線的對稱性、中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知拋物線C：y=x2+4x+
2
7
，過C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．
（Ⅰ）若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-
1
2
，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x0，y0）；
（Ⅱ）設(shè)P（-2，a）為C對稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請說明理由．

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已知拋物線C：y=ax2（a為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P且與拋物線C相切的直線記為L．
（1）求F的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在何處時，點(diǎn)F到直線L的距離最小？

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精英家教網(wǎng)已知拋物線C：y=mx2（m＞0），焦點(diǎn)為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q，
（1）若拋物線C上有一點(diǎn)R（xR，2）到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2上的點(diǎn)A（-1，2），直線l1過點(diǎn)A且與拋物線相切．直線l2：x=a（a＞-1）交拋物線于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D，記△ABD的面積為S1，拋物線和直線l1，l2所圍成的圖形面積為S2，則S1：S2=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=ax2（a＞0）上的點(diǎn)P（b，1）到焦點(diǎn)的距離為
5
4
，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如圖，已知動線段AB（B在A右邊）在直線l：y=x-2上，且|AB|=
2
，現(xiàn)過A作C的切線，取左邊的切點(diǎn)M，過B作C的切線，取右邊的切點(diǎn)為N，當(dāng)MN∥AB，求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值．

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