Question

2．已知矩形ABCD與直角梯形ABEF，∠DAF=∠FAB=90°，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，AF=EF=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，P在線段CD上運(yùn)動(dòng)．
（1）證明：BF∥平面GAC；
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到CD的中點(diǎn)位置時(shí)，PG與PB長(zhǎng)度之和最小，求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于M，連MG，M為BD的中點(diǎn)，證明GM∥BF，即可證明BF∥平面GAC．
（2）延遲AD至N，使DN=DG，連PN，PG，說明當(dāng)P、B、N三點(diǎn)共線時(shí)，PG與PB長(zhǎng)度之和最小，AD，AB，AF兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PCE的一個(gè)法向量，平面BCE的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）連接BD交AC于M，連MG，M為BD的中點(diǎn)．…（2分）
∴MG為△BFD的中位線，
∴GM∥BF，而BF?平面GAC，MG?平面GAC，
∴BF∥平面GAC．…（5分）
（2）延遲AD至N，使DN=DG，連PN，PG，則△PDG≌△PDN，∴PG=PN
當(dāng)P、B、N三點(diǎn)共線時(shí)，PG與PB長(zhǎng)度之和最小，即PG與PB長(zhǎng)度之和最小
∵P為CD中點(diǎn)，∴AD=DN．
在△ADF中，AD²+AF²=4DG²=4AD²，∴AD=1…（6分）
AD，AB，AF兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

∴D（0，0，1），E（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（0，2$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0）…（7分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PCE的一個(gè)法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}y-z=0}\\{2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，y=0，z=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{3}）$．
同理可得平面BCE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…（10分）
設(shè)二面角P-CE-B的大小為θ，θ為鈍角，
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{\overrightarrow{m}}||\overrightarrow{n}|}$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴求二面角P-CE-B的余弦值：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．