Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B．
（Ⅰ） 若|AB|=

16

3

，求直線l的方程．
（Ⅱ） 求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：法一：（1）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義，能夠求出直線l的方程．
（2）由（1）知，|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．
法二：（1）由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|=

2P

sin2θ

（θ為AB的傾斜角），知sinθ=±

3

2

，由此能求出直線方程．
（2）由（1）知|AB|=

2P

sin2θ

=

4

sin2θ

，由此能求出|AB|的最小值．

解答：解法一：（1）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是上述關(guān)于y的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以y₁+y₂=-4m
根據(jù)拋物線的定義知：
|AB|=x₁+x₂+2=(1-my1)+(1-my2)+2=4(m2+1)
若|AB|=

16

3

，則4(m2+1)=

16

3

，m=±

3

3

即直線l有兩條，其方程分別為：x+

3

3

y-1=0，x-

3

3

y-1=0
（2）由（1）知，|AB|=4（m²+1）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，|AB|有最小值4．
解法二：（1）由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|=

2P

sin2θ

（θ為AB的傾斜角），
知sinθ=±

3

2

，
即直線AB的斜率k=tanθ=±

3

，
故所求直線方程為：x+

3

3

y-1=0或x-

3

3

y-1=0．
（2）由（1）知|AB|=

2P

sin2θ

=

4

sin2θ

，
∴|AB|_min=4 （此時(shí)sinθ=1，θ=90°）
故|AB|有最小值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查弦的最小值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)、韋達(dá)定理、均值不等式等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．