【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（Ⅰ）先對求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個零點.

試題解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個零點.

綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，設(shè)：實數(shù)滿足 ，：實數(shù)滿足．

（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實驗，準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

方式

實施地點

大雨

中雨

小雨

模擬實驗總次數(shù)

A

甲

4次

6次

2次

12次

B

乙

3次

6次

3次

12次

C

丙

2次

2次

8次

12次

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據(jù)人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

(1)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；

(2)考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只要是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值E(ξ)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周．根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量（百斤）與使用某種液體肥料（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（精確到0．01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：

周光照量（單位：小時）

光照控制儀最多可運行臺數(shù)

3

2

1

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了3臺光照控制儀，求商家在過去50周周總利潤的平均值．

附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某投資公司計劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為，B產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為．（利潤與投資金額單位：萬元）

（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤總和表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍．

（2）怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；

(3) 當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）如圖在三棱錐中， 分別為棱的中點，已知，

求證：（1）直線平面；

（2）平面 平面.

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【題目】已知命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：橢圓（m＞0）的離心率 e∈（，1），若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某市效外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向且距A 8 km處，且位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向 上，已知AB＝5 km，AD＞BD.

(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；

(2)求∠ACD的正弦值．

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