Question

【題目】如圖，某市效外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向且距A 8 km處，且位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向 上，已知AB＝5 km，AD＞BD.

(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)；

(2)求∠ACD的正弦值．

Answer 1

【答案】(1) 這條公路長(zhǎng)為(4－3)km. (2)

【解析】

試題分析: （1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，求的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求 的度數(shù)或三角函數(shù)值的問(wèn)題．

(2)在中，由正弦定理可得 ，在 中 則由 即可得到 的正弦值．

試題解析：( (1)△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，設(shè)DB＝x km.

則由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.

∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，

∴這條公路長(zhǎng)為(4－3)km.

(2)在△ADB中，＝，

∴sin∠DAB＝＝，

∴cos∠DAB＝.

在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，

cos105°＝cos(60°＋45°)

＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝，

sin105°＝sin(60°＋45°)＝，

∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]

＝sin(∠DAC＋105°)

＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°

＝×＋×

＝.