Question

如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4． Rt△AOC可以通過 Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)θ得到，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（1）若θ=90°，求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）若θ=120°，求CD與平面AOB所成角最大時(shí)該角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角B-CO-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CO⊥BO，從而CO⊥平面AOB，由此能證明平面COD⊥平面AOB．
（2）過C作OB的垂線，垂足為E，可得E為C在平面AOB上的射影，故當(dāng)ED⊥AD時(shí)，CD與平面AOB所成角最大，解三角形可得答案；
（3）以O(shè)B為y軸正方向，OA為z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面OBC和平面OCD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（1）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．
解：（2）過C作OB的垂線，垂足為E，

∵CO⊥AO，BO⊥AO，CO∩BO=O，
∴AO⊥平面OBC，
又∵CE?平面OBC，
∴AO⊥CE，
又∵BO∩AO=0，AO，BO?平面AOB，
∴CE⊥平面AOB，
即E為C在平面AOB上的射影，
故當(dāng)ED⊥AD時(shí)，CD與平面AOB所成角最大，
此時(shí)CE=

3

，DE=

3 3

2

，故CD=

CE2+DE2

=

39

2

，
故CD與平面AOB所成角最大時(shí)該角的正弦值sin∠EDC=

CE

CD

=

3

39 2

=

2 13

13

，
（3）以O(shè)B為y軸正方向，OA為z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），C（

3

，-1，0），B（0，2，0），A（0，0，2

3

），D（0，

5

4

，

3 3

4

），
則

OC

=（

3

，-1，0），

OD

=（0，

5

4

，

3 3

4

），
由（2）可得：

OA

=（0，0，2

3

）為平面OBC的一個(gè)法向量，
設(shè)平面OCD的法向量為：

m

=（x，y，z），
由

m • OC =0 m • OD =0

，即

3 x-y=0 5 4 y+ 3 3 4 z=0

，
令x=1，則

m

=（1，

3

，-

5

3

），
故二面角B-CO-D的平面角θ的余弦值cosθ=

| m • OA |

| m |•| OA |

=

5 61

61

點(diǎn)評(píng)：本題考察了面面垂直判定定理和線面角、二面角的作法和求法，解決二面角問題關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．