Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＞0，an+1=2－，。

（1）若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值；

（2）是否存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

(1) 或 ;(2) 當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：(1) 把表示為的式子，通過對的范圍進(jìn)行討論去掉絕對值符號，根據(jù)成等比數(shù)列可得關(guān)于的方程，解出即可；

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則成等差數(shù)列，即，將（1）的過程代入，得到關(guān)于的方程，分情況①當(dāng)時②當(dāng)時,求得進(jìn)行判斷；看是否與矛盾.此題的難點在與討論絕對值的幾何意義，去絕對值.

試題解析：（1）∵，∴，．

（ⅰ）當(dāng)時，，

由，，成等比數(shù)列得：

∴，解得． 3分

（ⅱ）當(dāng)時，

∴，解得（舍去）或．

綜上可得或． 6分

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則

由，得，即．

（�。┊�(dāng)時，，解得，從而（），此時是一個等差數(shù)列； 9分

（ⅱ）當(dāng)時，，解得，與矛盾；

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列． 12分

考點：1.等差與等比數(shù)列；2.絕對值的意義.