Question

5．濱湖區(qū)擬建一主題游戲園，該游戲園為四邊形區(qū)域ABCD，其中三角形區(qū)城ABC為主題活動區(qū)，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12$\sqrt{6}$m；AD、CD為游客通道（不考慮寬度），且∠ADC=120°，通道AD、CD圍成三角形區(qū)域ADC為游客休閑中心，供游客休憩．
（1）求AC的長度；
（2）記游客通道AD與CD的長度和為L，求L的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求AC的長度．
（2）求出AD，CD，可得出L關于θ的關系式，化簡后求L的最大值．

解答 解：（1）由已知由正弦定理，得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠B}$，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12$\sqrt{6}$cm，所以AC=$\frac{12\sqrt{6}sin45°}{sin60°}$=24m．
（2）因為∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°-θ，
在△ADC中，由正弦定理得到$\frac{AC}{sin120°}=\frac{CD}{sinθ}=\frac{AD}{sin（60°-θ）}$，
所以L=CD+AD=16$\sqrt{3}$[sin（60°-θ）+sinθ]=16$\sqrt{3}$[sin60°cosθ-cos60°sinθ+sinθ]=16$\sqrt{3}$sin（60°+θ），
因0°＜θ＜60°，當θ=30°時，L取到最大值 16$\sqrt{3}$m．

點評 本題考查正弦定理，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．